Sistema de Planos Acotados.

1. Definición.

    El Sistema de Planos Acotados es una simplificación del Sistema Diédrico Ortogonal en donde se utiliza un único plano de proyección (también denominado plano de origen, del cuadro, de referencia, del horizonte o de comparación) y que se corresponde con el plano horizontal del Sistema Diédrico Ortogonal. En él se proyectan ortogonalmente los elementos del espacio.

    Con un único plano de referencia nos encontramos con una indeterminación pues, si bien a cada punto del espacio le corresponde una sola proyección sobre el plano de proyección, cada proyección puede corresponderse con infinitos puntos. Para salvar esta indeterminación, en Sistema Diédrico Ortogonal utilizamos el plano vertical de proyección y en el Sistema Acotado colocamos al lado de cada proyección su distancia al Plano de Proyección o cota correspondiente.

    Podemos establecer un sistema de coordenadas de dimensiones X e Y coincidentes con el Plano de Proyección y dimensión Z para las cotas o alturas. Definido el origen de coordenadas y la orientación de los ejes X e Y un punto puede venir dado por sus coordenadas. A (x, y, z) Como le sucede al punto B (1,2,3).

    Se utiliza este sistema preferentemente en Topografía debido a que a grandes distancias en el plano de proyección corresponden pequeñas variaciones de altura o cota por lo que no vale la pena dibujar una proyección vertical. No obstante, puede utilizarse también para diseño industrial o cualquier otra aplicación.

    La unidad de cota que se emplea generalmente en topografía es el metro siendo el milímetro en diseño industrial.

2. Planos.

    En Sistema Acotado como en el resto de los sistemas un plano se representa por su traza P con el plano de referencia. Con este único dato el plano queda indeterminado pues a una traza corresponden infinitos planos de diferentes inclinaciones. Para evitar ésta indeterminación trazaremos para representar un plano, además de esta traza, una de sus rectas de máxima pendiente graduada según sus cotas enteras, como vimos en graduación de una recta. De esta forma, mediante la traza y la recta de máxima pendiente, queda determinada su intersección con el Plano de Proyección y su pendiente. La recta de máxima pendiente se dibuja con una doble raya y por supuesto, perpendicular a la traza del plano.

    Otro modo de determinar la pendiente de un plano se logra dibujando una recta horizontal del plano con su unidad de cota correspondiente.

Alfabeto del Plano.

    Tres son las posiciones que puede un plano adoptar respecto al plano de proyección:

Oblicuo.

Perpendicular (Pv): El plano es proyectante sobre su traza, su recta de máxima pendiente queda reducida a un punto que no se dibuja (recta perpendicular).

Paralelo (Ph): No corta al plano de proyección luego no tiene traza con éste. Su recta de máxima pendiente es una horizontal (de pendiente cero e intervalo infinito). Se escribe Ph y se añade la cota de uno de sus puntos –ej: Ph(5)–. También se puede dibujar por su recta de máxima pendiente interrumpida para indicar la cota. (===== (5) =====).

    Este plano se denomina horizontal por ser paralelo al de proyección y los elementos en él contenidos se proyectan en verdadera magnitud.

Determinación de la cota de un punto situado en un plano dado.

    Dado un plano P y un punto A situado en él determinaremos su cota trazando por dicho punto una recta horizontal del plano hasta comprobar en que cota corta ésta a la recta de máxima pendiente del plano. Si la cota no es entera abatimos dicha recta para comprobar con exactitud la cota de A.

Situar una recta en un plano, conocida la posición de dos puntos de ella.

    A y B dados deben de coincidir en dos horizontales del plano de igual cota para pertenecer a él, uniendo ambos queda definida la recta R. La recta obtenida queda graduada automáticamente por las intersecciones de las horizontales del plano de cota entera. De aquí se deduce que cuando las graduaciones de una recta y de un plano coinciden, la recta pertenece al plano.

Situar una recta en un plano, conocido un punto de ella y el intervalo de la misma.

    Hacemos centro en el punto dado (sobre el plano) y con radio igual al intervalo dado trazamos una circunferencia que corta a las rectas horizontales del plano (salvo la que contiene al punto dado) en nuevos puntos de la recta quedando así la recta definida.

Según la magnitud del intervalo de la recta respecto del intervalo del plano (rmp el plano), tenemos varias soluciones.

Cuando ambos intervalos son idénticos: una solución, la circunferencia auxiliar trazada es tangente a las rectas horizontales correspondientes.

Cuando el intervalo de la recta es mayor que el del plano: dos soluciones.

Cuando el intervalo de la recta es menor que el intervalo del plano: ninguna solución.

Hacer pasar un plano, de intervalo conocido, por una recta.

    Conociendo el intervalo del plano ‘P’ (ip) y dada la recta ‘R’ por su proyección horizontal r debidamente graduada, hacemos centro en una graduación de R –en el ejemplo a(4)– y con radio ip, trazamos una circunferencia. Desde una graduación contigua de la recta –b(5)– trazamos rectas tangentes a la circunferencia que, por estar a distancia ip de la graduación anterior, son horizontales de P y queda por tanto definido el plano. Según la magnitud del intervalo del plano respecto del intervalo de la recta dada tenemos varias soluciones.

Si el intervalo del plano es menor que el intervalo de la recta: dos soluciones (P y P1).

Si el intervalo del plano es igual al intervalo de la recta: Una solución (R sería recta de máxima pendiente del plano obtenido).

Si el intervalo del plano es mayor que el intervalo de la recta: Ninguna solución.

Plano determinado por tres puntos no alineados.

    Como sabemos, un plano puede venir determinado por tres puntos no alineados. En Sistema Acotado, unimos los puntos de cotas mayor y menor –mayor desnivel: a(9) y b(3) en este caso–, determinando así la una R por su proyección r que graduamos (dividiéndola en 6 partes iguales, el desnivel entre A y B en este ejemplo).

    Por la graduación de la recta de cota igual a la del punto restante c(5) trazamos una recta que lo contenga, esta recta será una horizontal del plano buscado. Trazamos una recta perpendicular a la horizontal recientemente obtenida y obtenemos la recta de máxima pendiente del plano y la graduamos aprovechando la graduación de R. Para completar la representación del plano dibujamos su horizontal de cota cero que no es sino la traza P.

3. El punto.

    Un punto A se representa por su proyección sobre el Plano de Proyección y por su cota. Ejemplo a(4).

Alfabeto del punto.

    El plano de proyección, tomado a la vez como sistema de referencia, delimita el espacio en solo dos regiones, la positiva y la negativa según nos situemos por encima o por debajo de éste respectivamente.

    Un punto puede adoptar por tanto solamente tres posiciones relativas, encima del Plano de Proyección, por debajo o en el propio Plano de Proyección. En el primer caso hablaremos de cotas positivas o altitudes, negativas o sondas en el segundo y nulas en el tercer caso.

    Para trabajos topográficos absolutos se toma como plano de referencia o cota cero el nivel del mar (en Alicante).

Desnivel entre dos puntos.

    Se denomina así la distancia vertical que separa dos puntos. Por ejemplo dados a(4), b(-2) y c(5), el desnivel de A respecto de B es 6 y 1 respecto de C.

4. La Recta.

    Como en cualquier otro sistema dos puntos determinan una recta, dados dos puntos A y B bastará pues unir sus proyecciones para tener determinada la recta R que designaremos con minúscula r, una vez proyectada sobre el Plano de Proyección.

Traza de una Recta.

    Es su punto de intersección con el plano de proyección y tendrá por tanto cota nula. La podemos determinar abatiendo, la recta dada R, sobre el Plano de Proyección. Tomamos para ello como charnela su propia proyección r, trazándole por dos puntos de ella A y B rectas perpendiculares sobre las que llevaremos las cotas correspondientes a los puntos escogidos, donde la recta abatida en Ro corte a la proyección dada r tendremos la traza buscada t(0).

Verdadera Magnitud de un segmento.

    Dado el segmento A-B, abatiremos sobre el Plano de Proyección la recta R que definen y con ella los puntos A y B en Ao y Bo. El segmento Ao-Bo está en verdadera magnitud por coincidir con el Plano de Proyección. Figura 8.

Pendiente de una recta.

    La pendiente es una relación entre el desnivel y el desplazamiento sobre el Plano de Proyección. Con la pendiente determinaremos la inclinación que presenta una recta respecto al Plano de Proyección. Viene definida por la tangente del ángulo a que ésta forma con el Plano de Proyección.

    Para poder calcular la pendiente, abatimos la recta sobre el Plano de Proyección auxiliándonos de su traza t y un punto A de la recta, de éste modo obtenemos el ángulo a de pendiente siendo su tangente la pendiente buscada.

    Abatida la recta podemos observar que las proyecciones t y a forman, junto al punto A abatido en Ao, un triángulo rectángulo. Como sabemos por trigonometría, la tangente del ángulo a de pendiente es igual a la relación entre los catetos opuesto y contiguo de dicho ángulo, por lo que la pendiente será igual a Ao-a/a-t o lo que es lo mismo pendiente = (desnivel Ao-a)/(proyección t-a).

    La pendiente es por tanto el cociente entre la cota de un punto de la recta y su distancia horizontal a la traza. Por ejemplo, para un punto a(2) situado en R, que diste 5 cm de la traza t, tenemos que la pendiente p de R es 2/5 = 0.4.

    Como vemos, avanzamos 2 unidades de medida verticalmente para recorrer 5 unidades horizontalmente o 0.4 unidades verticalmente para avanzar 1 unidad horizontalmente y es por esto que también se define pendiente como la distancia que debemos recorrer verticalmente (0.4 en el ejemplo) para avanzar 1 unidad horizontalmente.

    Si no conocemos la traza de la recta dos puntos de la misma A y B también definen la pendiente, calcularemos en este caso el cociente entre el desnivel y la distancia horizontal entre ellos

Módulo o Intervalo de una recta.

    Se entiende como la distancia que tenemos que recorrer horizontalmente sobre la recta para elevarnos verticalmente una unidad o viceversa, distancia horizontal existente entre dos puntos de desnivel 1. Se calcula mediante el cociente entre la distancia horizontal entre dos puntos de la recta (o distancia horizontal de un punto a su traza) y el desnivel.

    Si ell intervalo o módulo de la recta R determinada por su punto A y su traza, es i = 5/2. Como vemos, el intervalo i es el inverso de la pendiente (i=1/p) y la pendiente inversa del intervalo (p=1/i): si denominamos en general, al desnivel “v” y a la distancia horizontal “h”, tenemos que p=v/h y que i=h/v. Si la pendiente es igual a la inversa del intervalo, p=1/i, tenemos sustituyendo que p=1/(h/v). Despejando comprobamos como efectivamente p=v/h.

    Si el intervalo es 2’5. Tenemos que recorrer 2’5 unidades horizontalmente para desplazarnos 1 unidad verticalmente. Pendiente e intervalo son constantes a lo largo de la recta.

Graduar una recta o Gradiente de una recta.

    Dada una recta R, para conocer la cota de cualquiera de sus puntos, la graduamos con su intervalo correspondiente a partir de su traza o de cualquier punto de la misma de cota entera. Se gradúa la recta R de la que conocemos su intervalo (i=2’5).

    Si no conocemos el intervalo de la recta podemos calcularlo como sabemos, a partir de dos puntos conocidos de la recta. Conociendo dos puntos de una recta S cualesquiera c (1.9) y d (4.3), los hemos abatido en Co y Do determinado So y su intervalo i. A partir de él hemos graduado la recta atendiendo a la definición de intervalo (distancia horizontal que recorremos para elevarnos una unidad en la recta dada)

    Para ello graduamos los segmentos perpendiculares a “s” c-Co y d-Do, a partir de Co y Do y según la unidad de medida correspondiente. Unimos Co y Do prolongando hasta cortar a s obteniendo la traza de S, trazando paralelas por el resto de divisiones graduaremos la recta observando que la distancia entre estas divisiones es su propio intervalo.

    Podemos proceder de igual modo tomando los segmentos Co y Do oblicuos a s.

Alfabeto de la Recta.

Pueden ser las rectas en este sistema, respecto al plano de proyección:

Oblicuas: Dada por dos puntos de proyecciones horizontales no coincidentes y de diferente cota.

Perpendiculares: Vendrá dada por dos puntos de proyecciones horizontales coincidentes y de distinta cota. La recta se proyectará en un punto coincidente con la traza pués es proyectante. Su pendiente es infinito y su intervalo 0.

Paralelas: Determinadas por dos puntos de proyecciones horizontales diferentes pero de igual cota. Se proyectarán en verdadera magnitud sobre el Plano de Proyección. No tienen traza, su pendiente es nula y su intervalo infinito.

Determinación de un punto sobre una recta.

    Si deseamos situar un punto C de cota dada z sobre una recta R, abatimos esta en Ro y trazamos a r una recta paralela a distancia igual a la cota z del punto C, donde dicha paralela y Ro se corten tenemos Co y desabatido obtendremos c(z).

Intersección entre rectas.

    Dos rectas se cortan cuando el punto de intersección de sus proyecciones tiene igual cota en ambas, de lo contrario se cruzan. Se observa además, que las uniones de sus cotas homónimas son paralelas entre sí, por lo que podemos saber si dos rectas se cortan entre sí sin conocer su punto de corte.

Autora: Roalcys Pereira.

Referencias:

https://dibujotecni.com/acotado/sistema-de-planos-acotados/

https://dibujotecni.com/acotado/sistema-de-planos-acotados-planos/

https://dibujotecni.com/acotado/sistema-de-planos-acotados-el-punto/

https://dibujotecni.com/acotado/sistema-de-planos-acotados-la-recta/